رابطه ریاضیات و هفت پل کونیگسبرگ

اگر شما یک ریاضیدان باشید، اسم کونیگسبرگ برای شما آشنا خواهد بود. رابطه‌ی کونیگسبرگ با علوم و ریاضیات به قرن هجده برمی‌گردد. در آن زمان این شهر یک قطب علمی و فرهنگی در آلمان، لهستان و لیتوانی محسوب می‌شد. کونیگسبرگ، محل تولد ریاضیدان‌های معروفی است؛ مانند «کریستین گلدباخ» (Christian Goldbach) که ما او را امروزه برای «حدس گلدباخ» می‌شناسیم که یکی از قدیمی‌ترین و شناخته‌شده‌ترین مسائل حل نشده در نظریه‌ی اعداد است و «داوید هیلبرت» (David Hilbert) کسی که «فضاهای هیلبرت» (Hilbert spaces) را فرمول‌سازی کرد و همچنین «کارل نومان» (Carl Neumann) که برای سری معروف نومان شناخته شده است.

کونیگسبرگ همچنین منزل فیزیکدان مشهور «گوستاو روبرت کیرشهف» (Gustav Robert Kirchhoff) است که «قوانین کیرشهرف» (Kirchhoff's laws) او اساس طراحی هر مدار الکتریکی و الکترونیکی است و همچنین شیمیدان برنده‌ی جایزه نوبل «اوتو والاخ» (Otto Wallach) که برای «ترکیبات آلیفاتیک حلقوی» (alicyclic compound) شناخته شده است.

فیلسوف معروف «ایمانوئل کانت» (Immanuel Kant) نیز دانشمند دیگری اهل کونیگسبرگ بود که به قدری به شهر محل تولدش افتخار می‌کرد که در تمام طول عمرش این شهر را ترک نکرد.

اگرچه تمام این فرزندان کونیگسبرگ باعت افتخار این شهر بودند، اما در حقیقت این ریاضیدان سوئیسی «لئونارد اویلر» (Leonhard Euler) بود که نام کونیگسبرگ را جاودانه کرد.

کونیگسبرگ یا کالینینگراد کنونی روی «رود پرگولیا» (Pregolya river) واقع شده است. با عبور رود از میان شهر جریان به دو شاخه تقسیم می‌شود که باعث ایجاد دو جزیره‌ی بزرگ با نام‌های Lomse و Kneiphof می‌شود. در قرن هجدهم این جزیره‌ها توسط هفت پل به کناره‌های شمالی و جنوبی رودخانه و همچنین به یکدیگر متصل بودند. 

وقتی شهروندان کونیگسبرگ در قدم زدن‌های عصرانه‌ی روزهای یکشنبه از روی این پل‌ها عبور می‌کردند، سوالی ذهن آن‌ها را درگیر کرد: آیا امکان داشت مسیری از میان شهر طراحی شود که از تمام هفت پل شهر یک و فقط یک مرتبه عبور کند؟ کسی نتوانست جوابی پیدا کند تا این که لئونارد اویلر در سنت‌پترزبورگ درباره‌ی این مسئله شنید.

در ابتدا اویلر از این که شهردار «دانتسیگ» (Danzig) برای درخواست کمک به او نامه نوشته بود، آزرده شد. در سال ۱۷۳۶ اویلر در نامه‌ای خطاب به شهردار دانتسیگ ناخشنودی خود را اظهار کرد:

آقای محترم؛ متوجه هستید که این نوع حل هیچ ارتباطی با ریاضیات ندارد. من متوجه نمی‌شوم چرا به جای شخص دیگری از یک ریاضیدان انتظار دارید تا جواب را پیدا کند؛ به این علت که یافتن جواب فقط به منطق بسته است و به هیچ اصل ریاضی بستگی ندارد.

اگر چه اویلر مسئله را بدیهی دانست، ولی با این حال مجذوب آن شد. مدتی بعد در همان سال اویلر نامه‌ای به «جیووانی ماریونی» (Giovanni Marinoni)، ریاضیدان و مهندس ایتالیایی نوشت:

این سوال خیلی ابتدایی است، اما به نظر من ارزش توجه داشت، چون نه هندسه، نه جبر و نه هنر برای حل آن کافی نیست. با این دیدگاه به نظرم رسید که شاید با هندسه‌ی موقعیت مرتبط باشد که «لایبنیتس» (Leibniz) زمانی برای آن بسیار مشهور بود. بنابراین بعد از کمی تفکر راه‌حلی ساده اما اساسی یافتم که به کمک آن یک شخص می‌تواند به تمام سوال‌هایی از این دست با هر تعداد پل و به هر ترتیب پاسخ دهد.

خیلی زود اویلر پاسخی پیدا کرده بود. پاسخ خیلی هیجان‌انگیز نبود. نه؛ شما نمی‌توانید از همه پل‌ها یک مرتبه عبور کنید و به مکان اول خود بازگردید. اما در حل این مسئله، اویلر روش تحلیل و شاخه‌ی جدیدی از ریاضیات را اختراع کرد که امروزه با عنوان «نظریه‌ی گراف» شناخته می‌شود.

اویلر متوجه شد که در مسئله‌ی کونیگسبرگ چیدمان دقیق شهر یا انتخاب مسیر اهمیتی ندارد. تنها چیزی که مهم است، این است که چطور چیزها به هم متصل شده‌اند. این دانش او را قادر ساخت تا نقشه‌ی شهر را به یک شبکه‌ی مرتب یا گراف تبدیل کند که در این گراف خشکی‌ها توسط نقطه و پل‌ها توسط خطوط پیوندی بین نقطه‌ها مشخص شده‌اند.

اویلر تشخیص داد که فقط یک مرتبه می‌توانیم از هر پیوند (پل) عبور کنیم؛ بنابراین هر گره (خشکی) باید تعداد زوجی پیوند داشته باشد. این به این علت است که هر وقت شما از طریق یک پیوند وارد یک گره شوید، مجبور هستید توسط پیوند دیگری از آن خارج شوید. بنابراین اگر یک مرتبه از گره عبور کنید، دو پیوند و اگر دو مرتبه از آن عبور کنید، چهار پیوند احتیاج خواهید داشت. تنها گره‌هایی که می‌توانند تعداد فردی پیوند داشته باشند، گره‌های ابتدایی و انتهایی حرکت هستند.

حال با نگاه به گراف می‌توانیم بگوییم که چرا پاسخ مسئله کونیگسبرگ منفی است. به این علت که هر گره در گراف تعداد فردی پیوند متصل دارد. به‌طور کلی اویلر نشان داد که احتمال یک عبور از یک گراف با عبور تنها یک مرتبه از هر پیوند، به تعداد پیوندهای متصل به هر گره بستگی دارد. زیبایی این استدلال این است که برای هر شبکه‌ای هر قدر بزرگ یا پیچیده، جواب می‌دهد.

امروزه نظریه‌ی گراف یک ابزار اساسی در تحقیقات ریاضی و دارای کاربرد در زمینه‌های متنوع مانند مهندسی برق، برنامه‌نویسی و شبکه‌های کامپیوتر، مدیریت بازرگانی، جامعه شناسی، اقتصاد، بازاریابی، ارتباطات و غیره است. پژوهش‌های اخیر نشان می‌دهد که نظریه‌ی گراف می‌تواند بینش‌های جذابی در زمینه‌ی تحلیل ارتباطات بین سلول‌های عصبی که باعث ایجاد آلزایمر می‌شوند، فراهم کند.

امروز عبور از هفت پل کونیگسبرگ همانطور که اویلر با سختی ریاضیات نشان داد، همانند همان زمان امری غیرممکن است، ولی نه به علت نبود مسیری مناسب بلکه به این علت که بیشتر پل‌ها دیگر در حالت اصلی خود وجود ندارند.

«پل بازرگان» (Merchant’s Bridge) و «پل سبز» (Green Bridge) که به جزیره‌ی Kneiphof وارد و خارج می‌شوند، در زمان جنگ جهانی دوم تخریب و توسط دو روگذر ۵۰۰ متری جایگزین شدند. پل‌های Schmiedebrücke و Köttelbrücke هم از بمب‌های جنگ جهانی دوم جان سالم به در نبردند و جایگزین هم نشدند. پل Honigbrücke یا «پل عسل» (Honey Bridge) جزیره‌ی Lomse را به شرق Kneiphof متصل می‌کند. این پل تنها پلی از جزیره‌ی Kneiphof است که در جنگ جهانی دوم سالم مانده و امروز دیده می‌شود. پل Holzbrücke یا «پل چوبی» (Wooden Bridge) جزیره‌ی Lomse را به کناره‌ی شمالی رود پرگولیا متصل می‌کند. این پل هم در جنگ سالم ماند و امروز وجود دارد. پل هفتم و پل آخر Hohe Brücke یا «پل بلند» (High Bridge) زمانی به جزیره‌ی Lomse ختم می‌شد. این پل تخریب و توسط پل جدیدی جایگزین شده است.

_{پل سبز قبل از تخریب}

_{پل بازرگان}

_{پل Schmiedebrücke}

_{پل Köttelbrücke}

_{پل عسل}

_{پل چوبی}

_{پل بلند}